Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016/ΘΕΜΑ Β

Θέμα Β Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Γ' τάξης Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ (Β' Ομάδα)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2},x\in ℝ.$

Β1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της $f.$ (Μονάδες 6)

Β2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. (Μονάδες 9)

Β3. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. (Μονάδες 7)

Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β1, Β2, Β3 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) (Μονάδες 3)

Β1

Πεδίο ορισμού, συνέχεια και παραγωγισιμότητα της $f$

Καθώς $x^2+1>0$ για κάθε $x\in ℝ$, $D_f=ℝ$ H $f$ είναι ρητή συνάρτηση και ως εκ τούτου είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της

Εύρεση της πρώτης παραγώγου της $f$

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)\\ & =\frac{(x^2{)}^{\prime }(x^2+1)-x^2(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$

Μελέτη προσήμου της $f^{\prime }$

Ο παρονομαστής της $f^{\prime }$, $(x^2+1{)}^2$ είναι θετικός για κάθε $x\in ℝ$, συνεπώς το πρόσημο της $f^{\prime }$ εξαρτάται μόνο από τον αριθμητή της.

$f^{\prime }(x)>0\iff 2x>0\iff x>0$

$f^{\prime }(x)=0\iff 2x=0\iff x=0$

$f^{\prime }(x)<0\iff 2x<0\iff x<0$

Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα:

Πρότυπο:Ts |$x$	Πρότυπο:Ts |$-\mathrm{\infty }$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts |$+\mathrm{\infty }$
Πρότυπο:Ts |$f^{\prime }(x)$	Πρότυπο:Ts | $-$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts| $+$
Πρότυπο:Ts |$f(x)$	Πρότυπο:Ts | $\searrow$	Πρότυπο:Ts|	Πρότυπο:Ts|	Πρότυπο:Ts| $\nearrow$

Συνεπώς η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(-\mathrm{\infty },0]$, γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$ ενώ στο σημείο $x=0$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $f(0)=\frac{0^2}{1+0^2}=0$

Β2

Εύρεση της δεύτερης παραγώγου της $f$

$\begin{array}{cc}{f}^{″}(x)& =\left(\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}\right)\\ & =\frac{(2x{)}^{\prime }(x^2+1{)}^2-2x((x^2+1{)}^2{)}^{\prime }}{((x^2+1{)}^2{)}^2}\\ & =\frac{2(x^2+1{)}^2-2x\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^4}\\ & =\frac{(x^2+1)(2x^2+2-8x^2)}{(x^2+1{)}^4}\\ & =\frac{2-6x^2}{(x^2+1{)}^3}\\ \end{array}$

Μελέτη προσήμου της $f^{″}$

Ο παρονομαστής της $f^{″}$, $(x^2+1{)}^3$ είναι θετικός για κάθε $x\in ℝ$, συνεπώς το πρόσημο της $f^{″}$ εξαρτάται μόνο από τον αριθμητή της.

$f^{″}(x)=0\iff 2-6x^2=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$f^{″}(x)>0\iff 2-6x^2>0\iff x\in (-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$ (τριώνυμο, εντός των ριζών ετερόσημο του $\alpha$, εδώ $\alpha =-6$)

$f^{″}(x)<0\iff 2-6x^2<0\iff x\in (-\mathrm{\infty },-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup (\frac{\sqrt{3}}{3},+\mathrm{\infty })$

Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα:

Πρότυπο:Ts |$x$	Πρότυπο:Ts |$-\mathrm{\infty }$	Πρότυπο:Ts|	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	Πρότυπο:Ts|		$\frac{\sqrt{3}}{3}$	Πρότυπο:Ts |$+\mathrm{\infty }$
Πρότυπο:Ts |$f^{″}(x)$	Πρότυπο:Ts | $-$	Πρότυπο:Ts|	0	$+$	Πρότυπο:Ts|	0	$-$
Πρότυπο:Ts |$f(x)$	Πρότυπο:Ts | $\cap$	Πρότυπο:Ts|	Πρότυπο:Ts|	$\cup$	Πρότυπο:Ts|	Πρότυπο:Ts|	$\cap$

Συνεπώς η $f$ είναι κοίλη στα διαστήματα $(-\mathrm{\infty },-\frac{\sqrt{3}}{3}]$ και $[\frac{\sqrt{3}}{3},+\mathrm{\infty })$, και κυρτή στο διάστημα $[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$.

Σημεία καμπής παρουσιάζει στο $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ και στο $\frac{\sqrt{3}}{3}$ τα σημεία $A(-\frac{\sqrt{3}}{3},f(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$ και $B(\frac{\sqrt{3}}{3},f(\frac{\sqrt{3}}{3}))$, δηλαδή τα $A(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{4})$ και $B(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{4})$

Β3

Κατακόρυφες ασύμπτωτες

Το πεδίο ορισμού της $f(x)$ είναι το $ℝ$, συνεπώς η $C_f$ δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

Πλάγιες ασύμπτωτες

Έλεγχος στο $-\mathrm{\infty }$:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x(1+x^2)}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x^3}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$

και

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{1+x^2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x^2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }1=1$

Συνεπώς η $C_f$ έχει στο $-\mathrm{\infty }$ οριζόντια ασύμπτωτη την $y=1$

Έλεγχος στο $+\mathrm{\infty }$:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x(1+x^2)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x^3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$

και

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{1+x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }1=1$

Συνεπώς η $C_f$ έχει στο $+\mathrm{\infty }$ οριζόντια ασύμπτωτη την $y=1$

Β4

Πίνακας μεταβολών της $f$

Πρότυπο:Ts | $x$	Πρότυπο:Ts | $-\mathrm{\infty }$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | $0$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$	Πρότυπο:Ts |$-\mathrm{\infty }$
Πρότυπο:Ts |$f^{\prime }(x)$	Πρότυπο:Ts colspan="4"| Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts|$-$ 0	Πρότυπο:Ts colspan="4"|$+$
Πρότυπο:Ts |$f^{″}(x)$	Πρότυπο:Ts colspan="2"| Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts|$-$ 0	Πρότυπο:Ts colspan="4"| Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts|$+$ 0	Πρότυπο:Ts colspan="2"|$-$
Πρότυπο:Ts |$f(x)$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | Πρότυπο:Ts|$1$ Πρότυπο:Ts| $\frac{1}{4}$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts| $0$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts| $\frac{1}{4}$	Πρότυπο:Ts colspan="2" | Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts| Πρότυπο:Ts| $1$

Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα σχεδιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: