Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016/ΘΕΜΑ Γ

'''Θέμα Γ [[Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016|Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Γ' τάξης Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ (Β' Ομάδα)]]'''

'''[[#Γ1|Γ1.]]''' Να λύσετε την εξίσωση <math>e^{x^2}-x^2-1=0, x\in\mathbb{R}.</math>
<span style="float:right;">'''(Μονάδες 4)'''</span>

'''[[#Γ2|Γ2.]]''' Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις <math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> που ικανοποιούν την σχέση <math>f^2(x)=(e^{x^2}-x^2-1)^2</math> για κάθε <math>x\in\mathbb{R}</math> και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
<span style="float:right;">'''(Μονάδες 8)'''</span>

'''[[#Γ3|Γ3.]]'''
Αν <math>f(x)=e^{x^2}-x^2-1, x\in\mathbb{R}</math> να αποδειχτεί ότι η <math>f</math> είναι κυρτή.
<span style="float:right;">'''(Μονάδες 4)'''</span>

'''[[#Γ4|Γ4.]]'''
Αν <math>f</math> είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση:

<center><math>f(|\eta\mu x|+3) - f(|\eta\mu x|) = f(x+3)-f(x)</math></center>

όταν <math>x\in[0,+\infty).</math>
<span style="float:right;">'''(Μονάδες 9)'''</span>

== Γ1 ==
Έστω η συνάρτηση <math>f(x) =e^{x^2}-x^2-1, x\in\mathbb{R}.</math>
;Παράγωγος της <math>f</math>
<math>\begin{alignat}{2}f'(x)&=(e^{x^2}-x^2-1)'
\\ & = e^{x^2}(x^2)'-2x
\\ & = 2xe^{x^2}-2x
\\ & = 2x(e^{x^2}-1)\end{alignat}</math>

;Μελέτη προσήμου της <math>f'</math>
<math>f'(x)>0\Leftrightarrow 2x(e^{x^2}-1)>0</math>
Δεδομένου ότι:

<math>2x>0\Leftrightarrow x>0</math>

και

<math>e^{x^2}-1>0\Leftrightarrow e^{x^2}>1 \Leftrightarrow e^{x^2}>e^0 \Leftrightarrow x^2>0 \Leftrightarrow x\neq 0</math>

συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας προσήμων

{|{{ts|w40|ba|bc}}
|-{{ts|bb}}
|{{ts|br|ac}}  |<math>x</math> 
|{{ts|al|w40|sm}} |<math>-\infty</math>
|{{ts|w0}}| 
|style="position: relative; right: 0.53em;"| 0
| {{ts|ar|w40|sm}} |<math>+\infty</math>
|-{{ts|bt}}
|{{ts|br|ar}} |<math>2x</math> 
|{{ts|ac|w40}} | <math>-</math>  
|{{ts|w0|bl}}| 
|style="position: relative; right: 0.53em;"| 0
|{{ts|ac|w40}}| <math>+</math>       
|-{{ts|bt}}
|{{ts|br|ar}} |<math>e^{x^2}-1</math> 
|{{ts|ac|w40}} | <math>+</math>  
|{{ts|w0|bl}}| 
|style="position: relative; right: 0.53em;"| 0
|{{ts|ac|w40}}| <math>+</math>   
|-{{ts|bt}}
|{{ts|br|ar}} |<math>f'(x)</math>  
|{{ts|ac|w40}} | <math>-</math> 
|{{ts|w0|bl}}| 
|style="position: relative; right: 0.53em;"| 0
|{{ts|ac|w40}}| <math>+</math> 
|-{{ts|bt}}
|}


;Μονοτονία της <math>f'</math>
{|{{ts|w40|ba|bc}}
|-{{ts|bb}}
|{{ts|br|ac}}  |<math>x</math> 
|{{ts|al|w40|sm}} |<math>-\infty</math>
|{{ts|w0}}| 
|style="position: relative; right: 0.53em;"| 0
| {{ts|ar|w40|sm}} |<math>+\infty</math>
|-{{ts|bt}}
|{{ts|br|ar}} |<math>f'(x)</math> 
|{{ts|ac|w40}} | <math>-</math>  
|{{ts|w0|bl}}| 
|style="position: relative; right: 0.53em;"| 0
|{{ts|ac|w40}}| <math>+</math>        
|-{{ts|bt}}
|{{ts|br|ar}} |<math>f(x)</math>  
|{{ts|ac|w40}} | <math>\searrow</math> 
|{{ts|w0|bl}}| 
|{{ts|w0}}| 
|{{ts|ac|w40}}| <math>\nearrow</math> 
|-{{ts|bt}}
|}

== Γ2 ==
== Γ3 ==
== Γ4 ==