Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016/ΘΕΜΑ Γ

Θέμα Γ Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Γ' τάξης Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ (Β' Ομάδα)

Γ1. Να λύσετε την εξίσωση $e^{x^2}-x^2-1=0,x\in ℝ.$ (Μονάδες 4)

Γ2. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:ℝ\to ℝ$ που ικανοποιούν την σχέση $f^2(x)=(e^{x^2}-x^2-1{)}^2$ για κάθε $x\in ℝ$ και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Γ3. Αν $f(x)=e^{x^2}-x^2-1,x\in ℝ$ να αποδειχτεί ότι η $f$ είναι κυρτή. (Μονάδες 4)

Γ4. Αν $f$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση:

$f(|\eta \mu x|+3)-f(|\eta \mu x|)=f(x+3)-f(x)$

όταν $x\in [0,+\mathrm{\infty }).$ (Μονάδες 9)

Γ1

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^{x^2}-x^2-1,x\in ℝ.$

Παράγωγος της $f$

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =(e^{x^2}-x^2-1{)}^{\prime }\\ & =e^{x^2}(x^2{)}^{\prime }-2x\\ & =2x{e}^{x^2}-2x\\ & =2x(e^{x^2}-1)\end{array}$

Μελέτη προσήμου της $f^{\prime }$

$f^{\prime }(x)>0\iff 2x(e^{x^2}-1)>0$ Δεδομένου ότι:

$2x>0\iff x>0$

και

$e^{x^2}-1>0\iff e^{x^2}>1\iff e^{x^2}>e^0\iff x^2>0\iff x\ne 0$

συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας προσήμων

Πρότυπο:Ts |$x$	Πρότυπο:Ts |$-\mathrm{\infty }$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts |$+\mathrm{\infty }$
Πρότυπο:Ts |$2x$	Πρότυπο:Ts | $-$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts| $+$
Πρότυπο:Ts |$e^{x^2}-1$	Πρότυπο:Ts | $+$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts| $+$
Πρότυπο:Ts |$f^{\prime }(x)$	Πρότυπο:Ts | $-$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts| $+$

Μονοτονία της $f^{\prime }$

Πρότυπο:Ts |$x$	Πρότυπο:Ts |$-\mathrm{\infty }$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts |$+\mathrm{\infty }$
Πρότυπο:Ts |$f^{\prime }(x)$	Πρότυπο:Ts | $-$	Πρότυπο:Ts|	0	Πρότυπο:Ts| $+$
Πρότυπο:Ts |$f(x)$	Πρότυπο:Ts | $\searrow$	Πρότυπο:Ts|	Πρότυπο:Ts|	Πρότυπο:Ts| $\nearrow$